積分 体積 難問 31

380.8 380.8 380.8 979.2 979.2 410.9 514 416.3 421.4 508.8 453.8 482.6 468.9 563.7 >> 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 0 100 200 300 400 500 600 endobj 36 0 obj 放物線 $y=ax^2+bx+c$ と直線 $y=px+q$ の交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta\:(\alpha < \beta)$ とおくとき， (1) $\displaystyle\int_{0}^1\dfrac{1}{x^x}dx=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^n}$ ここで，等比×等差数列の和を求めると， /ItalicAngle 0 /Type/Font 本問が難しいのは体積と積分の概念を正しく把握していなければならないと ころである． 簡単のために直方体の体積を考えよう. /FontDescriptor 18 0 R 777.8 777.8 1000 500 500 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 272 272 272 761.6 462.4 << （2）求める体積をVとする。外側の関数の回転体の体積から内側の関数の回転体の体積を引いて求める。 9 ' h [ h[ g[ ' h [ h [ g[ h [ h [ h h h …（答） 数学Ⅲ「積分の応用」大学入試問題（教科書程度～難問程 … /Subject() /Name/F9 $I=\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{\frac{3^m}{m}(\frac{3^m}{m}+\frac{3^n}{n})}\\ 29 0 obj 545.5 825.4 663.6 972.9 795.8 826.4 722.6 826.4 781.6 590.3 767.4 795.8 795.8 1091 >> << 500 500 611.1 500 277.8 833.3 750 833.3 416.7 666.7 666.7 777.8 777.8 444.4 444.4 /Type/Page 173/Omega/ff/fi/fl/ffi/ffl/dotlessi/dotlessj/grave/acute/caron/breve/macron/ring/cedilla/germandbls/ae/oe/oslash/AE/OE/Oslash/suppress/dieresis >> 連続関数 $y=f(x)$，$x$ 軸，$x=\alpha,x=\beta\:$(ただし $0\leq \alpha <\beta$)で囲まれた図形を $y$ 軸の回りに回転させてできる立体の体積 $V$ は， $\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{\sin x}{x}\left(\prod_{k=1}^n\dfrac{\sin a_kx}{a_kx}\right)dx=\dfrac{\pi}{2}$, 微分すると $f(x)$ になるような関数 $F(x)$ を $f(x)$ の原始関数と言う。, Sophomore’s dream: /Encoding 7 0 R $V=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}2\pi x|f(x)|dx$, パップスギュルダンの定理： /F3 22 0 R /Flags 6 666.7 666.7 666.7 666.7 611.1 611.1 444.4 444.4 444.4 444.4 500 500 388.9 388.9 277.8 という自明な等式を用いて定積分を計算できる場合がある, ガウス積分とは，以下のような定積分のことです。 << 324.7 531.3 590.3 295.1 324.7 560.8 295.1 885.4 590.3 531.3 590.3 560.8 414.1 419.1 25 0 obj /Author() /GS0 6 0 R 12 0 obj 791.7 777.8] 13 0 obj << 以上から，$I=\dfrac{9}{32}$. /Type/Encoding /Ordering(Japan1) 272 272 489.6 544 435.2 544 435.2 299.2 489.6 544 272 299.2 516.8 272 816 544 489.6 今回はマニアックな不定積分の公式です。 $\sinh$（ハイパボリックサイン）の逆関数のような形が出現しています。 積分定数は省略しています が，答案では忘れないでください！ 1444.4 555.6 1000 1444.4 472.2 472.2 527.8 527.8 527.8 527.8 666.7 666.7 1000 1000 444.4 611.1 777.8 777.8 777.8 777.8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 （ただし，$f(t)$ は $t$ に関する1変数の関数）, このページでは，定積分で表された関数の微分公式の証明，例題，より一般的な公式について解説します。, $0$ 以上の整数 $n$ と，$\displaystyle\sum_{k=1}^n|a_k|\leq 1$ を満たす実数 $a_1,\cdots, a_n$ に対して， /FontDescriptor 29 0 R /Name/F2 /CapHeight 737 /Registry(Adobe) endobj 面積が $S$ である平面図形 $A$ がある。 $A$ を直線 $l$ の回りに回転させてできる回転体の体積 $V$ は， $V=2\pi g_xS=$(重心の移動距離) $\times S$ /Keywords() $\displaystyle\int e^{ax}\sin bxdx=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx-b \cos bx)+C$, $\dfrac{1}{6}$ 公式： /BaseFont/Ryumin-Light 761.6 272 489.6] /FontDescriptor 24 0 R $x=x(t),\:y=y(t)$ と媒介変数表示された曲線 $C$ がある。 $\alpha\leq t\leq \beta$ の範囲で $t$ の増加とともに $(x(t),y(t))$ が原点中心に反時計回りに動くとき，動径が掃いた部分の面積は， $S=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{1}{2}(xy’-yx’)dt$, 弧長積分1：$f$，$g$ が連続かつ微分可能で $f’$，$g’$も連続とする。 >> /Name/F3 /Kids[4 0 R 31 0 R 57 0 R 83 0 R 109 0 R 135 0 R 161 0 R 187 0 R 213 0 R] /Type/Font =(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{3^n})^2$ /Producer(PDFsharp 1.32.2608-w \(www.pdfsharp.net\)) /Widths[1388.9 1000 1000 777.8 777.8 777.8 777.8 1111.1 666.7 666.7 777.8 777.8 777.8 �]̉ջd^���0�'%��:�c㴅8�f��>��+��t{�cO�hu+����I�*ZU�W#�8�]��cԩ���FJS9�jE�]�y̫JM����r���pE����G�{�ij�?���{C�v�gk�|FyK��)�!���r���^�۰\kO��X�"�����ώ�5�r ����5�������z�t�e��$&8.X��Y�eB� E�K*��u�)yAN7%9���N�����y)㖺��q�.�*U�g���[�{���mf]Nz�\�%b�Ӹ� /F5 30 0 R hk�Z�%��T�f�E�Q��l�2� endobj (2) $\displaystyle\int_{0}^1x^xdx=-\sum_{n=1}^{\infty}(-n)^{-n}$, $y=f(x)$，$x=a$，$x=b$，$x$ 軸で囲まれた領域を $x$ 軸のまわりに回転させてできる図形の体積は， << /Type/Font （$g_x$ は重心と回転軸の距離） /FirstChar 33 数学Ⅲの積分を使って体積を求める方法をゼロから解説しています。一般的なx軸・y軸・斜軸回転体・非回転体・パラメータで表されたグラフの求積問題のパターンとその解法を随時追加中です。 /FontDescriptor 21 0 R /Count 9 /Type/FontDescriptor endobj /FontBBox[-174 -268 1001 944] /FontName/GothicBBB-Medium 472.2 472.2 472.2 472.2 583.3 583.3 0 0 472.2 472.2 333.3 555.6 577.8 577.8 597.2 255/dieresis] << /FontName/Ryumin-Light /Contents 5 0 R /FontBBox[-170 -331 1024 903] 489.6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 611.8 816 /Font /FirstChar 33 7 0 obj 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 /FontDescriptor 33 0 R という自明な等式を用いて定積分を計算できる場合がある, このタイプの定積分の計算は入試でたまに出題されます。（たいてい誘導がついています）, sinのn乗，cosのn乗の積分公式で紹介したように，$\sin$ の積分と $\cos$ の積分には対称性があります。, この事実を利用した，「不定積分を求めるのは難しいけど定積分なら求まる」ようなエレガントな例を紹介します。, $I=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin xdx}{\sin x+\cos x}$ を求めよ。, 対称性より，$I=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos xdx}{\sin x+\cos x}$ となる。（厳密には $y=\dfrac{\pi}{2}-x$ と置換すればよい） 462.4 761.6 734 693.4 707.2 747.8 666.2 639 768.3 734 353.2 503 761.2 611.8 897.2 11 0 obj よって， 3 0 obj （厳密には $y=-x$ と置換する） /Length 3543 よって，対称性と上記のテクニックを用いると， >> =\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{a_ma_n}\\ © 2014--2020 高校数学の美しい物語 All rights reserved. 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 944.4 500 722.2 777.8 777.8 （ただし $a > 0$）, 一見面積とは無縁な微分という操作の逆を考えることで面積が求められるというのは驚きです。, 瞬間部分積分は複数回部分積分が必要な問題を即効で解く方法です，めんどくさい計算をかなり省略できます，オススメ！, $r(\theta)$ が連続関数のとき，極方程式 $r=r(\theta)$ で表される曲線と $\theta=\alpha, \beta$ で囲まれる部分の面積は， /LastChar 196 endobj >> /Flags 4 22 0 obj endobj /Name/F6 /Registry(Adobe) /LastChar 196 /BaseFont/CNQNPR+CMSY10 $y\leq mx,\:y\geq f(x),\\\:a\leq x\leq b$ /Panose(\001\005\002\002\003\000\000\000\000\000\000\000) スマホで学ぶサイト、 スマナビング！ All Rights Reserved. /Widths[1000 500 500 1000 1000 1000 777.8 1000 1000 611.1 611.1 1000 1000 1000 777.8 652.8 598 0 0 757.6 622.8 552.8 507.9 433.7 395.4 427.7 483.1 456.3 346.1 563.7 571.2 1 0 obj 上野竜生です。積分は非常に奥が深くノーヒントで試験時間中に解くのは難しいものもあります。しかしそういう場合はたいてい(1)などでヒントが与えられています。今回は(1)などのヒントを使って(2)の難問積分を解く方法を紹介します。例題1 微分し /Type/Font >> /Encoding/H 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 272 272 761.6 489.6 （→シグマ計算を機械的に行うための3つの公式の最後の方） >> 公式2：$\displaystyle\int \sqrt{x^2+a^2}dx=\dfrac{1}{2}(x\sqrt{x^2+a^2}+a^2\log(x+\sqrt{x^2+a^2}))$, 今回はマニアックな不定積分の公式です。 $\sinh$（ハイパボリックサイン）の逆関数のような形が出現しています。積分定数は省略していますが，答案では忘れないでください！, ヤングの不等式： /DescendantFonts[30 0 R] /Supplement 2 /Name/F5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 777.8 277.8 777.8 500 777.8 500 777.8 777.8 777.8 777.8 0 0 777.8 =\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-1}^11dx\\ /BaseFont/CFMZRY+CMEX10 $\dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$, $m, n$ が $0$ 以上の整数のとき，以下のような積分公式が成立する（ベータ関数の積分公式）：, (i)　第一種オイラー積分 /Style<< /Descent -271 30 0 obj endobj /FirstChar 33 /LastChar 196 708.3 795.8 767.4 826.4 767.4 826.4 0 0 767.4 619.8 590.3 590.3 885.4 885.4 295.1 /FirstChar 33 /Subtype/Type1 /Subtype/Type1 << /Widths[3600 3600 3600 4000 4000 4000 4000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 /Widths[295.1 531.3 885.4 531.3 885.4 826.4 295.1 413.2 413.2 531.3 826.4 295.1 354.2 << /Type/Font /Subtype/Type1 endobj /StemV 69 /F0 10 0 R << /FirstChar 33 \geq\displaystyle\left(\int_p^q f(x)g(x)dx\right)^2$, 等号成立条件は $g(x)=tf(x)$ となる $t$ が存在する（または $f=0$）こと。, 三角関数と指数関数の積の積分は部分積分を2回行って求めるのが定石ですが，計算量も多くミスしやすいので，公式として覚えておくとスピードアップや検算に役立ちます：, $\displaystyle\int e^{ax}\cos bxdx=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos bx+b \sin bx)+C$ /FontDescriptor 9 0 R

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